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从哥白尼颠覆性的《天体运行论》，到牛顿创新性的《当然形而上学之数学道理》，再到达尔文草创性的《物种发源》……一部部科学经典著述，犹如东谈主类端淑史上鲜艳的里程碑，承载着科学家的稀罕知悉与不懈追求，奠定了当代科学基石，铺就了东谈主类突出的路线，引颈咱们迈向愈加开阔的常识天地。

为让更多读者感受科学魔力，北京市科学本事协会推出“科学路线”专栏，对科学经典著述进行深远讲授。原谅您加入这场跨越时空的科学对话，重温科学史上令东谈主颂扬的时刻，一同晓悟科学之好意思，感悟灵敏之光。

本期咱们带来《隐讳的数学》一书，让咱们整个感受数学中的趣、秘、异、好意思、陈腐、严谨、实用。

在许多东谈主的眼中，数学似乎仅仅那些令东谈主头疼的公式运算和繁琐的逻辑推理。然则，数学远不啻于此，它避讳着一种专有的好意思感，恭候咱们去发现和赏玩。

当咱们透过公式和定理的表象，深远探究其背后的结构和规则时，会发现数学天下中蕴含着令东谈主颂扬的对称、息争和鲜艳。

荷兰画家梵高的后期作品里，不错发现一些旋涡式的团。据《泰晤士报》报谈，墨西哥物理学家乔斯·阿拉贡经过究诘发现，这些旋涡与科学家用来神气湍流气象的数学公式殊途同归

约略，当你看完这些图之后，会对数学产生一种全新的交融和深爱，发现它不仅是求解问题的器具，更是赏玩天下的另一种风光。

“黄金数”——几何学中的瑰宝

巴特农神庙，神庙的长与高之比约为0.618

0.618被达·芬奇称为“黄金数”，而“黄金分割”则被天文体家开普勒赞为几何学中的两大瑰宝之一（另一件瑰宝是毕达哥拉斯定理，即勾股定理）。

顾名念念义，黄金数被赋予黄金相似的熠熠光彩和昂贵价值，受到了东谈主们平素的原谅。

事实上，黄金分割（比）一直总揽着古代中东地区和中叶纪时辰的西方确立艺术，不管是古埃及的金字塔，已经高古典的巴特农神庙；不管是印度的泰姬陵，已经巴黎的埃菲尔铁塔，这些众东谈主瞩宗旨确立都是应用黄金分割比例道理创作的伟大艺术品。

—些零散的名画佳作、艺术珍品也处处体现了黄金分割（比）——它们的主题多数在作品的黄金分割点处（对于绘画、雕镂、确立等艺术来讲，主题中的0.618只怕表当今横向，只怕表当今纵向。惟有你肯仔细寻觅，便不难发现这个事实）。

在米勒的名画《拾穗者》中，东谈主们发现其构图中应用了黄金分割

对于某些音乐、电影、文体作品，其中乐章、故事、情节的高潮时时在全曲、全剧、全书的0.618前后。

更道理的是，东谈主体中有着许多黄金分割的例子，比如：东谈主的肚脐是东谈主体全长的黄金分割点，而膝盖又是东谈主体肚脐以下部分体长的黄金分割点，以致有东谈主竟以此模范去估量一个东谈主的体形是否模范或健好意思。

达·芬奇在《维特鲁威东谈主》这幅画中，把东谈主体与几何中最无缺而又肤浅的图形（圆和正方形）计划到了整个，图中还赋存着黄金分割（比）。

达·芬奇《维特鲁威东谈主》，东谈主的身高是按0.618所画，其他部位也按特定比例模范画图，比如双手伸开的宽度等于身高

好意思和对称紧密邻接

对称观念率先源于几何，如今它的含义已远远超出几何限度。对称亦然一种息争好意思，毕达哥拉斯、柏拉图所认为的天地结构最肤浅的基元——正多面体是对称的；他们心爱的图案五角星亦然对称的；圆是最肤浅的阻塞弧线，亦然一种最无缺的对称图形。

德国着名数学家魏尔斯特拉斯说“好意思和对称紧密邻接”，从确立物外形到日常生涯用品，从动植物外貌到生物有机体的构造，从化合物的构成到分子晶体的排布……其中皆有对称。

北京天坛着实立呈现对称结构

古希腊东谈主十分属意多样对称气象，以致他们竟创立一种学说，认为天下一切的规则都是从对称来的。他们认为最对称的东西是圆，是以他们把天文体中的天体通顺轨谈画成圆的，自后圆上加圆，就发展成为希腊自后的天文体。

开普勒究诘天体运行时，再一次用上对称不雅点。他同期发现，用圆上加圆对天体运行规则解释时并不可行，但是将圆换成椭圆就不错了。

倒影看上去是一种最无邪的对称

20世纪究诘发现：对称的要紧性在有加无已，这从某个方面也阐明了希腊东谈主想法的合感性。

在能源学问题中，按照对称不雅点来洽商不错获取许多要紧论断。举例一个氢原子中，一个电子圆形轨谈是原子核作用在电子上库仑力的对称恶果和字据。这里对称意味着在所有方朝上力的大小都相似。

在中国，对子是一种国学，雅称“楹联”，其笔墨简约，真谛真谛渊博，对仗工致、平仄互助，号称中华英才的文化瑰宝。从笔墨个数和寓意上看，对子亦然一种对称。

“圆”是最好意思的图形

诗东谈主但丁曾嘉赞谈：“圆是最好意思的图形。”从古于今，东谈主们对圆有着特殊亲切的情感。古钱币、徽章、某些图案盘算中，皆可找到圆。这在某种进程上是基于圆的无缺与简约，其实圆亦然一个最无缺的对称（轴对称和中心对称）图形。

蜘蛛网上的水点

数学家对于简约的追求永无极度。正如牛顿所说：“数学家更容易接收漂亮的恶果，不心爱丑陋的论断，何况他们也格外可贵优好意思与精良的领略，不心爱奸险与繁复的推理。”

与圆计划的图形还有好多，比如圆锥、圆柱、球……与圆计划的数学命题，更是不堪摆列。

古希腊学者阿基米德死于要紧西西里岛的罗马士兵之手。东谈主们为挂念他，便在其墓碑上刻上“球内切于圆柱”的图形，以挂念他发现“球的体积和名义积均为其外切圆柱体积和名义积的三分之二”这一定理。

别传阿基米德正在全神灌输地画几何图，别称罗马士兵闯了进来，阿基米德疾声喝谈“别动我的圆！”士兵用利剑刺杀了阿基米德

把一些要紧或驰名的数字写成一个圆的螺线形（且由大到小螺旋式顺时针神气），这种图形常会是令东谈主赏心悦宗旨。

1994年，由一些破译密码志愿者构成的小组生效破译了一个有128位数字的密码。密码破译后译为：\"The magic words are squeamish ossifrage\"（意为“魔术的话语是易受惊吓的髭兀鹰”）。

分形——潦草弧线的数学分支

微积分发明之后，数学家们为了某种宗旨而杜撰的弧线，耐久以来一直视为数学中的“怪胎”（从息争与否角度看），如构造皆集但不可微函数、周长无尽所围面积为零的弧线等。

然则这一切却被慧眼识金的数学家视为张含韵，从某些角度洽商它们又果然被行为数学中的“好意思”。东谈主们将它们经过加工、索要、抽象、综合而创立了一门新的数学分支——分形。

分形几何是好意思籍法国数学家芒德布罗在20世纪70年代创立的一门数学新分支，它究诘的是平素存在于当然界和东谈主类社会中一类莫得特征模范却有着相似结构的复杂体式和气象。

它与欧氏几何不同。欧氏几何是对于直观空间形骸关系分析的一门学科，究诘的是直线、圆、正方体等章程的几何形骸，这些形骸都是东谈主为的。但是，“云彩不是球体、山岳不是锥体、海岸线不是圆周”。

分形图示例

20世纪60年代，英国《科学》杂志刊载芒徳布罗的文章《英国海岸线有多长？》。这个看似不是问题的问题，仔细试吃后却会令东谈主大吃一惊：除了能给岀何如估算的要领性神气外却莫得深信的谜底——海岸线长会跟着度量标度（或步长）的变化而变化。

东谈主们在测量海岸线万古（注意它是一条不章程弧线），老是先假设一个标度，然后用它沿海岸线步测一周获取一个多边形，其周长可视为海岸线的类似值。彰着由于标度及第的不同，海岸线长的数值不一，且标度越详尽，海岸线数值越大。

真确地讲，当标度趋向于0时，海岸线长并不趋向于某个细则的值，而会变得无尽大（无尽不是数，而是一个极限经过）。

海岸线测量露出图

许多相关的分形会产生令东谈主感兴致的图形，好意思国着名物理学家惠勒说：“不错信托，翌日谁不稳妥分形，谁就不行被认为是科学上的文化东谈主！”

用有限来填满无限

数学中“用有限来填满无限”是一个道理的话题。20世纪70年代，英国物理学家（亦然只怕把数学作为文娱消遣的数学家）彭罗斯启动有兴致究诘在统一张平面上用不同的瓷砖铺设的问题。

1974年，当他发表恶果时，东谈主们都大吃一惊。文中他细则了三类瓷砖（下称彭罗斯瓷砖），第一类两种分别为风筝形和镖形，它们是由统一个菱形剪出的；第二类是由边长调换、胖瘦不一的两种菱形构成的（道理的是它们的面积比恰为0.618）；第三类则由正五边形、菱形、五角星形、黄冠形四种图形构成。

这种瓷砖的奇妙之处在于：用它们中的每一类皆可无重迭又无错误地铺满平面，同期铺设结构不具“平移对称性”，也等于说，从举座上看图形不重复。

更为奇妙的是，利用彭罗斯瓷砖进行铺砌时，还可从铺砌的图形中找出上述瓷砖本人的放大“克隆”。

奇妙的莫比乌斯带

一张纸，一块布，你不错根据它们的体式辞别它的正面和反面，可施行生涯中是否存在莫得正反面的曲面？

把一条长的矩形纸带扭转180°后，再把两头粘起来，这就成了仅有一个侧面的曲面（无正反面），它被东谈主们称为莫比乌斯带，由德国数学、天文体家莫比乌斯在1858年发现。

莫比乌斯带的造成图示：矩形带扭转180°，两头粘起来，获取莫比乌斯带

莫比乌斯带的出现，使东谈主们对于正、反面观念有了新的意志。从另外的角度看，这种曲面是一条永恒走不到尽头的（有限）曲面。

一支笔沿莫比乌斯带名义出动（不离开曲面），不久它又回到起原。

师法莫比乌斯带而盘算的儿童游戏本领

一只蚂蚁不错爬过莫比乌斯带的整个曲面而无谓跨越它的边际，这是拓扑学中的一个着名问题。

数学中1+2+3+……是一种无尽（无尽大），它莫得上界。而莫比乌斯环这种“永恒不到头”彰着也体现一种无尽。难怪有东谈主认为，数学符号∞（无尽大）恰是莫比乌斯带在平面上的投影。

科学经典推选

隐讳的数学

吴振奎 著

北京大学出书社

《隐讳的数学》以数学实例揭示数学潜在的规则，同期探索用好意思学道理携带数学创造和发现的蹊径。书中配以200余幅插图、丰富的小贴士和名东谈主语录，全面展现数学的丰富文化偏抓与咱们日常生涯的关系，率领东谈主们赏玩数学的趣、秘、异、好意思，发现数学的陈腐、严谨、实用。

来源：“北京大学出书社”公众号